Пространство без бесконечности
А, действительно, если Вселенная не бесконечна…
Может такое быть?
Оказывается, может.
И даже не в том понимании, что она занимает часть пространства. Вселенная может занимать и всё пространство, но это пространство не имеет мест в математике обозначаемых знаком ∞ (бесконечность).
Чтобы понять это, нам предстоит сделать всего три шага.
Сначала изобразим такое пространство в общих контурах, а затем начнём прорисовывать все детали.
Итак, шаг первый.
Одномерное пространство.
В обыденном понимании оно представляется нам чем-то типа числовой прямой.
На прямой отметим начало отсчёта – точку О и от неё в одну сторону со знаком плюс (+), в другую со знаком минус (-), через равные интервалы, называемые единицей измерения, сделаем разметку +1, +2, +3, …,+ ∞ и, соответственно, -1, -2, -3, …, - ∞. То есть и с одной, и с другой стороны стоят знаки ∞ – это одномерное бесконечное пространство.
Здесь задаём наш вопрос: «Может ли существовать одномерное пространство, не содержащее ∞?»
Оказывается, может.
В первоначальной зарисовке будем приводить лишь те примеры, которые нам будут необходимы и достаточны для понимания сути и дальнейшего логического описания следующих шагов. При этом постараемся избегать ввода каких-либо новых определений.
Начертим окружность.
Это тоже одномерное пространство.
Но как не размечайте такое пространство, если за единицу измерения возьмём определённую конечную величину, то знак ∞ нигде в таком пространстве поставить не удастся.
Данная окружность – локальный пример одномерного пространства, не содержащего знака ∞.
Шаг второй.
Двухмерное пространство.
На плоскости проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Разметим их точно также, как и прямую на первом шаге, за точку отсчёта каждой взяв точку пересечения. Таким образом определим двухмерное бесконечное пространство.
Здесь опять задаём наш вопрос: «Может ли существовать двухмерное пространство, не содержащее ∞?»
Оказывается, тоже может.
Возьмите в руки глобус.
Как не размечайте его поверхность, знак ∞ поставить нигде не удастся.
Данная сфера – локальный пример двухмерного пространства, не содержащего ∞.
Переходим к третьему шагу.
Через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых проводим третью прямую, перпендикулярную двум первым. Разметим её точно также, как и на первых двух шагах. Получим трёхмерное бесконечное пространство, точнее способ его отображения – декартову систему координат.
Задаём первоначальный вопрос: «Может ли существовать пространство, не содержащее знака ∞?»
Оказывается, может.
Локального примера, подобного примерам на первых двух шагах, здесь привести не удастся.
Эти локальные примеры были приведены лишь для того, чтобы получить способ отображения такого пространства в декартовой системе координат, который позволит определить способ счёта идеально-определённого пространства – пространства, не содержащего знака ∞, в глобальном понимании.
Перейдём к способу отображения идеально-определённого пространства в декартовой системе координат.
Вернёмся к одномерному пространству.
Как можно отобразить окружность на прямой?
На окружности отметим любую точку и примем её за начало отсчёта, обозначив точно также, как и на прямой – О (с нулевым значением). От точки О отмеряем половину окружности в любую сторону и эту отметку обозначаем точкой М (то есть ОМ – половина окружности в любую сторону). От точки О в одну сторону со знаком (+), в другую со знаком минус (-), точно с такими же одинаковыми интервалами по длине как и на прямой делаем разметку. При этом точка М получает два значения +m и –m.
Такая разметка определяет и способ счёта одномерного идеально-определённого пространства (не содержащего ∞).
Чтобы отобразить окружность на прямой, разорвём окружность в точке М и, совместив точки О окружности и прямой, развернём полуокружности ОМ на прямую. Получим отрезок прямой [-m,+m], который и отобразит окружность на прямой и определит способ счёта одномерного идеально-определённого пространства на прямой.
То есть при движении по окружности от точки О в плюсовую сторону мы достигнем точки М со значением +m, которая на прямой будет иметь одновременно значение –m, и при дальнейшем движении уйдём в отрицательную область отрезка [-m,+m], а при дальнейшем движении вернёмся в точку О на прямой.
Отображение окружности на прямой носит достаточно простой характер – без искажений. Единственным усложнением является раздвоение значения точки М, что, собственно, особенно и не мешает жить.
Интересные статьи: