Основные понятия космической геодезии и астрономии

Страница 9

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Вспомним, что в полярных координатах

\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},

\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.

В координатной форме запишем

\ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),

r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.

Подставляя \ddot \thetaи \dot rво второе уравнение, получим

r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

которое упрощается

\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

После интегрирования запишем выражение

\log\dot\theta = -2\log r + \log\ell,

\log\ell = \log r^2 + \log\dot\theta,

\ell = r^2\dot\theta,

для некоторой константы \ell, которая является удельным угловым моментом (\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}).Пусть

r = \frac{1}{u},

\dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u = -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta},

\ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} = -\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.

Уравнение движения в направлении \hat{\mathbf{r}}становится равным

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Страницы: 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Интересные статьи:

Кометы
Введение. …И если все науки возвышают дух человеческий, то больше всего это свойственно астрономии, не говоря уже о величайшем духовном наслаждении, связанном с её изучением… Николай Коперник. Эти слова великого учёного Николая Ко ...

Обзор систем координат, использующихся в астрономических расчетах
Горизонтальная топоцентрическая система координат В этой системе центр помещается в месте нахождения наблюдателя на поверхности земли, основной плоскостью является плоскость математического горизонта. Одной координатой при этом является ...

Коперник и его гелиоцентрическая система
Николай Коперник родился 19 февраля 1473 г. в Торуни, торговом городе на Висле. Отец будущего астронома, тоже Николай был богатым купцом, мать, Барабара, урождённая Ваченроде, - дочерью главы городского суда. Николай был в семье четвёртым ...