1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

В четырехмерном римановом пространстве общее выражение для интерваламежду двумя событиями выражается производными

следующим образом:

(1.1.1)

где— свободные индексы (а не обозначения степеней), и, кроме того, принято обычное правило суммирования (повторяющийся свободный индекс предполагает суммирование по всем его значениям 0, 1,2, 3). Таким образом, выражение (1.1.1) представляет собой сумму 16 членов. Значения— функции координат; они определяют собой метрику пространства.

В соответствии с общей теорией относительности эта метрика зависит от распределения материи; значенияудовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, известным как уравнения Эйнштейна. Такая метрика называется пространственно-временной.

Последовательность координат движущейся частицы описывает ее «мировую линию», в частности, мировая линия частицы, свободно перемещающейся в гравитационном поле, называется геодезической.

Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением статического сферически симметричного поля, создаваемого единственной изолированной массой. Отождествимс пространственными координатами относительно центра симметрии, авременной координатой, обозначив ее через t. Предположение о статичности поля подразумевает, что значенияне являются функциями t, а радиальный масштаб может быть определен как произвольная функция радиуса. Поскольку этот масштаб выбран, дифференциальные уравнения, описывающие геодезическую, заданы полностью.

Тем не менее остается свободным еще выбор пространства координатчто эквивалентно выбору геометрической проекции при построении двухмерных карт. Аткинсон [8] показал, что релятивистские свойства сферически симметричного поля можно строго описать в рамках трехмерного евклидова пространства, поскольку предположение о сферической симметрии подразумевает неизменность вида метрики при евклидовых преобразованиях пространственных координат.

Принимая такую точку зрения, мы определяем евклидово пространство тремя взаимно ортогональными декартовыми осями с началом в центре симметрии; эта система координат описывает покоящуюся систему отсчета. Определим координатный вектор х и координатную скоростькак трехмерные евклидовы векторы, компоненты которых соответствен

Если— единичный вектор в направлении х, то наиболее

общее выражение интервалав случае статического сферически симметричного поля имеет вид

(1.1.2)

где— константа,— функции радиуса (в этойформуле и далее все индексы — показатели степени).

Рассмотрим только так называемые временноподобные интервалы, для которых в этом случае т называется «собственным» временем. Аткинсон [9] показал, что уравнения Эйнштейна приводят к двум соотношениям между коэффициентами формулы (1.1.2), которые в наших обозначениях таковы:

Интересные статьи:

Мир галактик
ВВЕДЕНИЕ Галактики – гигантские звездные острова, находящиеся за пределами нашей звездной системы (нашей Галактики). Они очень разнообразны по своим размерам, внешнему виду и составу. Различие меду галактиками разных типов объясняется ка ...

Модель устойчивой мировой системы
Введение Несмотря на высокий уровень астрономических сведений народов древнего Востока, их взгляды на строение мира ограничивались непосредственными зрительными ощущениями. Поэтому в Вавилоне сложились взгляды, согласно которым Земля имее ...

Сварка в космосе
Введение В конце 50-х годов нашего столетия родилась новая отрасль человеческой деятельности — космонавтика. Об этом на весь мир возвестили сигналы первого советского спутника Земли, утвердив тем самым ведущую роль нашей страны в освоени ...