Мы показали, что общее выражение (1.1.2) с помощью формул (1.1.3) и (1.1.4) может быть приведено к шварцшильдовой форме (1.1.12) путем чисто алгебраического преобразования соотношения (1.1.8). Таким образом, уравнения, выведенные с использованием метрики Шварцшильда, можно преобразовать к некоторой общей сферически симметричной метрике.

1.3 Изотропные координаты

Рассмотрим систему координат, определяемую формулой

В соответствии с (1.1.3), получаем

Дифференцируя (1.1.14) по, находим

Следовательно, по (1.1.4) имеем

или

и выражение (1.1.2) для элементапринимает вид

Это выражение известно как изотропная форма метрики Шварцшильда, поскольку, приняв в, можно найти, что координатная

скорость света в точке х, задаваемая формулой

одинакова во всех направлениях.

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Можно показать (см. Приложение В), что уравнения, определяющие геодезические, выводятся из обычных уравнений Эйлера — Лагранжа, которые в координатах Шварцшильда имеют вид

где— лагранжиан,

а точка сверху обозначает дифференцирование по

Уравнение (1.2.1) дает непосредственно

Или

где— постоянная интегрирования.

Формула (1.2.2) приводит к следующему выражению, вывод которого содержится в Приложении В:

Умножая (1.2.2) векторно на, получаем

вследствие того чтоТаким образом,

где Н — постоянная, а h — постоянный единичный вектор. Из последнего уравнения следует, что геодезическая лежит в плоскости, перпендикулярной h, а угловой момент по отношению к собственному времени остается неизменным. Угловой момент постоянен только в координатах Шварцшильда. В произвольной метрике, для которой уравнение (1.2.6) имеет вид

правая часть которого не является постоянной, поскольку x — функция

При этих условиях (1.2.6) эквивалентно уравнению

Интересные статьи:

Необычные и интересные факты о Солнце
Со́лнце - единственная звезда Солнечной системы, вокруг которой обращаются другие объекты этой системы: планеты и их спутники, карликовые планеты и их спутники, астероиды, метеороиды, кометы и космическая пыль. Масса Солнца составляе ...

Возникновение планетных систем и Земли
ВВЕДЕНИЕ Ничто во всей Вселенной Не существует, только их полет, И он мои печали прочь несет Полет планет, Земли, и звезд Полет, и камня, И мысль моя не жизни и смерти На двух крыльях, на двух волнах Плывет. Поль Элюар Согласит ...

Проблема контакта с внеземными цивилизациями
Введение Испокон веков человек жил не хлебом единым. Важное место во всем житейском многообразии занимал … обмен новостями. В наши дни на каждого из нас обрушивается колоссальный поток информации. Все чаще в лавину этой информации впле ...