Мы показали, что общее выражение (1.1.2) с помощью формул (1.1.3) и (1.1.4) может быть приведено к шварцшильдовой форме (1.1.12) путем чисто алгебраического преобразования соотношения (1.1.8). Таким образом, уравнения, выведенные с использованием метрики Шварцшильда, можно преобразовать к некоторой общей сферически симметричной метрике.

1.3 Изотропные координаты

Рассмотрим систему координат, определяемую формулой

В соответствии с (1.1.3), получаем

Дифференцируя (1.1.14) по, находим

Следовательно, по (1.1.4) имеем

или

и выражение (1.1.2) для элементапринимает вид

Это выражение известно как изотропная форма метрики Шварцшильда, поскольку, приняв в, можно найти, что координатная

скорость света в точке х, задаваемая формулой

одинакова во всех направлениях.

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Можно показать (см. Приложение В), что уравнения, определяющие геодезические, выводятся из обычных уравнений Эйлера — Лагранжа, которые в координатах Шварцшильда имеют вид

где— лагранжиан,

а точка сверху обозначает дифференцирование по

Уравнение (1.2.1) дает непосредственно

Или

где— постоянная интегрирования.

Формула (1.2.2) приводит к следующему выражению, вывод которого содержится в Приложении В:

Умножая (1.2.2) векторно на, получаем

вследствие того чтоТаким образом,

где Н — постоянная, а h — постоянный единичный вектор. Из последнего уравнения следует, что геодезическая лежит в плоскости, перпендикулярной h, а угловой момент по отношению к собственному времени остается неизменным. Угловой момент постоянен только в координатах Шварцшильда. В произвольной метрике, для которой уравнение (1.2.6) имеет вид

правая часть которого не является постоянной, поскольку x — функция

При этих условиях (1.2.6) эквивалентно уравнению

Интересные статьи:

В помощь учителю астрономии
1. Предмет астрономии. Источники знаний в астрономии. Телескопы. Узловые вопросы: 1. Что изучает астрономия. 2. Связь астрономии с другими науками. 3. Масштабы вселенной. 4. Значение астрономии в жизни общества. 5. Астрономические наб ...

Современные представления о мегамире
Введение Огромное практическое значение науки в XX в. сделало ее той областью знания, к которой массовое сознание испы­тывает глубокое уважение. Слово науки весомо, и оттого рисуемая ею картина Вселенной часто принимается за точ­ную фотог ...

Система небесных координат
Системы небесных координатиспользуются в астрономии для описания положения светил на небе или точек на воображаемой небесной сфере. Небесные координаты вводятся на геометрически правильной поверхности небесной сферы координатной сеткой, п ...